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Umgekehrt, wenn die MACD über die Signalleitung steigt, gibt der Indikator ein zinsbullisches Signal, was darauf hindeutet, dass der Preis des Vermögenswertes wahrscheinlich nach oben Momentum erleben wird. Viele Händler warten auf ein bestätigtes Kreuz über der Signalleitung, bevor sie in eine Position eintreten, um zu vermeiden, dass sie ausgefranst werden oder in eine Position zu früh eintreten, wie durch den ersten Pfeil gezeigt.

Es signalisiert das Ende des aktuellen Trends. Dramatischer Aufstieg - Wenn der MACD dramatisch ansteigt - dh der kürzere gleitende Durchschnitt zieht von dem längerfristigen gleitenden Durchschnitt ab - ist es ein Signal, dass die Sicherheit überkauft ist und bald wieder normal ist.

Trader beobachten auch eine Bewegung oberhalb oder unterhalb der Nulllinie, weil dies die Position des kurzfristigen Durchschnitts relativ zum langfristigen Durchschnitt signalisiert. Wie Sie aus dem obigen Diagramm sehen können, wirkt die Nulllinie oft als eine Fläche von Unterstützung und Widerstand für die Anzeige.

Dieser Artikel konzentriert sich auf die beliebtesten Indikator in der technischen Analyse verwendet. Gerald Appel entwickelte diese Indikator in den er Jahren, und obwohl der Name klingt sehr kompliziert, seine wirklich ganz einfach zu bedienen.

Lesen Sie weiter, um zu erlernen, wie Sie beginnen können, nach Weisen zu suchen, dieses leistungsfähige Werkzeug in Ihre handelnde Strategie zu integrieren. Hintergrundwissen Die Popularität des MACD ist weitgehend auf seine Fähigkeit zurückzuführen, schnell zu helfen, die zunehmende kurzfristige Dynamik zu erkennen.

Bevor wir jedoch ins Innere des MACD springen, ist es wichtig, das Verhältnis zwischen einem kurzfristigen und einem langfristigen gleitenden Durchschnitt vollständig zu verstehen. Wie Sie aus der unten stehenden Tabelle ersehen können, werden viele Händler auf einen kurzfristigen gleitenden Durchschnitt blaue Linie achten, um über einen längerfristigen gleitenden Durchschnitt rote Linie zu gehen und dies zu verwenden, um das Aufwärtsschwingen zu signalisieren.

Diese bullish Crossover deutet darauf hin, dass der Preis vor kurzem steigt mit einer schnelleren Rate als es in der Vergangenheit hat, so ist es ein gemeinsames technisches kaufen Zeichen. Umgekehrt wird eine kurzfristige gleitende durchschnittliche Überschreitung unterhalb eines längerfristigen Durchschnitts verwendet, um zu veranschaulichen, dass der Vermögenspreis schneller rückläufig ist und dass es eine gute Zeit zum Verkauf sein kann.

Die MACD wurde entwickelt, um von dieser Divergenz zu profitieren, indem sie den Unterschied zwischen den beiden exponentiellen gleitenden Durchschnitten analysiert. Insbesondere wird der Wert für den langfristigen gleitenden Durchschnitt von dem kurzfristigen Durchschnitt subtrahiert und das Ergebnis wird auf ein Diagramm aufgetragen.

Die Perioden, die verwendet werden, um den MACD zu berechnen, können leicht angepasst werden, um jede mögliche Strategie zu passen, aber Händler werden allgemein auf den Rückstellungseinstellungen von und tägigen Perioden verlassen. Ein positiver MACD-Wert, der erzeugt wird, wenn der kurzfristige Mittelwert über dem längerfristigen Durchschnitt liegt, wird verwendet, um einen Anstieg des Aufwärtsimpulses zu signalisieren.

Dieser Wert kann auch verwendet werden, um vorzuschlagen, dass die Händler von der Einnahme von Short-Positionen absehen wollen, bis ein Signal darauf hindeutet, dass es angemessen ist.

Auf der anderen Seite, fallen die negativen MACD-Werte darauf hin, dass der Abwärtstrend wird immer stärker, und dass es möglicherweise nicht die beste Zeit zu kaufen. Transaktionssignale Es ist Standard geworden, einen separaten gleitenden Durchschnitt neben dem MACD zu zeichnen, der verwendet wird, um ein klares Signal des sich verschiebenden Impulses zu erzeugen.

Auch als Triggerleitung bekannt. Dies wird neben der Anzeige auf dem Diagramm aufgefunden. Händler, die von zinsbulligen MACD-Kreuzen profitieren, die auftreten, wenn der Indikator unter Null liegt, sollten sich bewusst sein, dass sie versuchen, von einer Änderung der Impulsrichtung zu profitieren, während die gleitenden Durchschnittswerte immer noch darauf hindeuten, dass die Sicherheit einen kurzfristigen Verkauf erleben könnte - aus.

Dieser bullische Crossover kann die Trendumkehrung, wie in Abbildung 2 dargestellt, oft korrekt vorhersagen, wird aber oft als riskanter angesehen, als wenn der MACD über Null lag.

Ein weiteres gemeinsames Signal, dass viele Händler beobachten, tritt auf, wenn der Indikator in die entgegengesetzte Richtung des Vermögenswertes, bekannt als Divergenz. Dieses Konzept nimmt weitere Studie und wird oft von erfahrenen Händlern verwendet. Wie Sie in Abbildung 3 sehen können, ist ein Kreuz durch die Nulllinie eine sehr einfache Methode, die verwendet werden kann, um die Richtung des Trends und die Schlüsselpunkte zu identifizieren, wenn das Momentum gebaut wird.

Vorteile In den bisherigen Beispielen werden die verschiedenen Signale, die von diesem Indikator generiert werden, leicht interpretiert und können schnell in jede kurzfristige Handelsstrategie integriert werden.

Wie Sie in der Tabelle sehen können, kann der verzögerte Aspekt dieses Indikators während einer längeren Bewegung mehrere Transaktionssignale erzeugen, was dazu führen kann, dass der Trader während der Rally mehrere unscheinbare Gewinne oder sogar geringe Verluste realisiert. Die Händler sollten sich darüber im Klaren sein, dass der Whipsaw-Effekt sowohl in den Trends als auch den Bereichsgrenzen schwerwiegend sein kann, da relativ kleine Bewegungen dazu führen können, dass der Indikator die Richtungen schnell ändert.

Wenn Provisionen in die Gleichung berücksichtigt werden, kann diese Strategie sehr teuer werden. Da der MACD der Dollarkurs zwischen den beiden gleitenden Durchschnitten ist, bietet das Lesen für unterschiedlich preiswerte Aktien wenig Einblick, wenn man eine Anzahl von Vermögenswerten miteinander vergleicht.

In einem Versuch, dieses Problem zu beheben, werden viele technische Analysten den Prozentsatz Preis Oszillator verwenden. Sondern analysiert den prozentualen Unterschied zwischen den gleitenden Durchschnitten und nicht dem Dollarbetrag. Die übersichtlichen Transaktionssignale helfen, die Subjektivität im Handel zu minimieren, und die Kreuze über die Signalleitung machen es einfach für Händler, um sicherzustellen, dass sie in der Richtung des Impulses handeln.

Sehr wenige Indikatoren in der technischen Analyse haben sich als zuverlässiger als die MACD erwiesen, und dieser relativ einfache Indikator kann schnell in jede kurzfristige Handelsstrategie integriert werden.

Mit der gleitenden durchschnittlichen Konvergenzdivergenz MACD unterhalb seiner Nulllinie, die eine bärische Tendenz widerspiegelt, würde ein Bruch darunter einen tieferen Verkauf auslösen, um die nächste signifikante Unterstützung bei 26 zu testen.

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Graphische Darstellung der Dispersionsrela-tion eines Systems von 12 gekoppelten Schwingern Chaotische VorgngeDie Vorgnge, die wir in Abschnitt 9. Sie haben nmlich die folgende Besonderheit: Wenn der Anfangszustand des Systems gegeben ist, kann man mit Hilfe der entsprechenden Dif-ferentialgleichungen den Zustand des Systems zu einem beliebig weit in der Zukunft und zu ei-nem beliebig weit in der Vergangenheit liegenden Zeitpunkt berechnen.

Wenn man den Aus-gangszustand mit einer gewissen Ungenauigkeit kennt, so kann man auch den Endzustand mit ei-ner gewissen Ungenauigkeit berechnen. Es ist typisch fr diese Art von Vorgngen, da eine klei-ne Variation der den Ausgangszustand charakterisierenden Werte der Variablen eine kleine Va-riation der Endzustandswerte zur Folge hat.

Tatschlich verhalten sich reale Systeme fast immer anders. Fragt man nach einem Endzustand,der zu weit in der Zukunft liegt, oder nach einem frheren Zustand, der weit in der Vergangenheitliegt, so stellt man fest, da eine kleine Variation der Werte des Ausgangszustandes eine sehr gro-e Variation der Werte des zu berechnenden Zustandes zur Folge hat.

Die Gre dieser Variationwchst im Allgemeinen exponentiell mit dem zeitlichen Abstand zwischen Ausgangszustandund dem zu berechnenden Zustand. Da man einen Zustand grundstzlich nur mit einer begrenz-ten Genauigkeit charakterisieren kann, folgt, da man den Zustand zu einem weit in der Zukunftoder weit in der Vergangenheit liegenden Zeitpunkt prinzipiell nicht berechnen kann.

Mathematisch uert sich ein solches Verhalten darin, da die Differentialgleichung, die das Sy-stem beschreibt, nicht linear ist. Man sagt von solchen nichtlinearen System, sie verhalten sichachaotisch. Tatschlich sieht das Verhalten dieser Systeme auch chaotisch - im umgangssprachli-chen Sinn - aus. Nicht jeder Vorgang, der chaotisch aussieht, ist auch chaotisch imvorher erklrten Sinn. Ein System aus 20 linear gekoppelten Schwingern zum Beispiel kann Be-wegungen ausfhren, die vllig ungeordnet, d.

Trotzdem ist das Systemnicht chaotisch im physikalischen Sinn: Seine spteren Zustnde und seine in der Vergangenheitliegenden Zustnde lassen sich aus einem vorgegebenen Ausgangszustand berechnen.

Wir betrachten ein Beispiel. Das System wird so angeregt, da die Gleiter gegeneinander schwingen, ihrSchwerpunkt aber in Ruhe bleibt. Jeder Gleiter bewegt sich sinusfrmig, Abb. Ist ein Aus-gangszustand vorgegeben, so lassen sich die Zustnde zu beliebigen anderen Zeitpunkten be-Abb. Zwei Gleiter auf der Luftkissenbahn schwingenum ihren gemeinsamen Schwerpunkt.

Weg-Zeit-Diagramm der beiden Gleiter von Abb. Das System verhlt sich nicht chaotisch. Am tieferen Ende der Bahn istein recht harter elastischer Federpuffer angebracht. Der Gleiter bewegt sich beschleunigt nachlinks, wird "reflektiert", bewegt sich wieder nach rechts, kehrt wieder um usw. Auch dieses System verhlt sichnicht chaotisch.

Wir kombinieren nun die beiden zuvor be-trachteten Systeme, Abb. Zwei gekop-pelte Gleiter wie in Abb. Es zeigt sich, da die Bewegungdes Systems chaotisch ist. Esknnte allerdings sein, da der Vorgang nurunbersichtlich aussieht, aber nicht chaotischim Sinne der Physik ist. Wir wiederholen da-her den Versuch, wobei wir die Ausgangsbedingungen, so gut wir knnen, genauso einrichten,wie bei dem Versuch, dessen Ablauf Abb.

Wir erhalten den Ablauf von Abb. Es ist leicht, den Versuch auf dem Computer zu simulieren. Man gibt Anfangsbedingungen einund lt den simulierten Vorgang ablaufen. Man wiederholt die Simulation mit Anfangsbedin-gungen, die sich von denen des ersten Durchlaufs nur sehr wenig unterscheiden.

Der Ablauf beimzweiten mal ist vllig anders. Der Computer besttigt also, da das Verhalten des Systems chao-tisch ist. Eine bersichtliche Darstellung der auf dem Computer simulierten Bewegung zeigt Abbildung Hier sind die Schwerpunktsbewegung und die Relativbewegung der beiden Gleiter gegen-einander getrennt ber der Zeit aufgetragen.

Das System lt sich entsprechend dieser Abbil-dung in zwei Teilsysteme zerlegen. Die Ortsvariable des einen ist die Schwerpunktskoordinate,die des anderen ist der Abstand der beiden Krper. Bei jedem Aufdopsen wird die Energie zwi-schen den beiden Teilsystemen neu verteilt. Ein einziger Gleiter bewegt sich wie ein springen-der Ball.

Weg-Zeit-Diagramm des Gleiters von Abb. Kombination der Systeme von Abb. Weg-Zeit-Diagramm eines der beiden Gleiter von Abb. Das Diagramm wurde zweimal aufgenommen. Die An-fangsbedingungen wurden dabei, so gut es ging, genauso gewhlt. Das Experiment von Abb. Schwerpunktsbewegung und Relativbewegung der beiden Gleiter sind getrennt dargestellt. Was man in diesem Zusam-menhang umgangssprachlich als Schwung bezeichnet, kann man aber nicht mit dem physikali-schen Impuls identifizieren, denn der Gesamtimpuls des Schwungrades ist Null.

Nur seine Teilehaben Impuls. Wir betrachten als Reprsentanten des Schwungrades eine "Hantel": Die Massen der beiden Massenpunktesind untereinander gleich. Die Hantel rotiert um eine Achse, die senkrecht auf der Verbindungs-geraden der beiden Massenpunkte steht, und die durch den Schwerpunkt geht. Wir nennen dieImpulse der Massenpunkte p1 und p2. Kann man nun diese Hantel dadurch zum Stillstand bringen, da man den Impuls von Massen-punkt 1 durch die Stange zu Massenpunkt 2 flieen lt?

Oder dadurch, da man die beiden Mas-senpunkte zur Mitte bewegt, soda sich dort ihre Impulse kompensieren? Die Erfahrung zeigt,da das nicht mglich ist. Bei einer "Hantel", die aus zwei entgegengesetzten elektrischen La-dungen besteht, d. Man kann dieHantel nur dadurch zum Stillstand bringen, da man Impulsstrme zwischen dem System "Han-tel" und einem weiteren System flieen lt. Diese Tatsache ist ein Hinweis darauf, da wir eshier mit einer neuen Erhaltungsgre zu tun haben.

Sie entspricht dem, was man umgangssprachlich den Schwung des Schwungra-des nennt. Wir wollen einige Eigenschaften dieser Gre kennenlernen. Man kann das Schwungrad in der Gegend herumtragen. Das bedeutet, da man auch den Drehim-puls im Raum herumbewegen kann.

Drehimpuls kann von einem System auf ein anderes bertragen werden, er kann von einem in einanderes System aflieen, Abb. Der Drehimpuls hat eine Richtung, er ist ein Vektor.

Bei einem Schwungrad, das sich um seineAbb. Der Drehimpuls fliet durch die Welle und dieRutschkupplung vom linken zum rechten Schwungrad. Die Hantel dreht sich um eine Achse, die senkrechtauf der Verbindungsgeraden der bvvveiden Massenpunktesteht.

Symmetrieachse dreht, ist die Richtung des L-Vektors identisch mit der Richtung des Winkel-geschwindigkeitsvektors. Wir betrachten ein System, das aus vielenSchwungrdern besteht. Es istwobei Li der Drehimpuls des i-ten Schwungrades ist.

Man kann oft eine Drehimpulsdichte angeben, Abb. Der Drehimpuls- ist additiv bei Systemzusammensetzung;- kann strmen;- kann eine Dichte haben. Der Drehimpuls ist also eine mengenartige Gre.

Man stellt auerdem experimentell fest, da der Drehimpuls eine Erhaltungsgre ist. Man kann fr die Messung von Drehimpulswerten ein Verfahren verwenden, das zu dem in Ab-schnitt 2. Wir werden im folgenden Abschnitt sehen, da man in bestimmten Fllen den Drehimpuls einesSystems aus der Impulsverteilung im System berechnen kann. Das betrachtete System ist ein "Schwarm" von Massenpunkten. Die Abstnde der Mas-senpunkte untereinander brauchen nicht fest zu sein, die Massenpunkte knnen beliebig durch-einanderfliegen.

Wir beginnen mit dem einfachsten Fall: Die beidenMassenpunkte drfen also zum Beispiel: Die Massen seien m1 und m2, die Ortsvektoren r1 und r2. Manchmal kann man eine Drehimpulsdichte defi-nieren. Zum Beweis betrachten wir die Zeitableitung dieses Ausdrucks. Damit wirdDie Erfahrung zeigt, da der Kraftvektor F parallel zur Verbindungslinie der Massenpunkte, unddamit zu r1 - r2 liegt.

Also ist die rechte Seite der letzten Gleichung Null, und damit ist der Aus-druckzeitlich konstant, q. Dieser Ausdruck ist zeitlich konstant, solange keine Impulsstrme von auen kommen oder nachauen flieen. Wir knnten ihn daher mit L identifizieren. Wir tun es aber nicht, denn der Aus-druck kann von Null verschieden sein, obwohl sich das betrachtete System gar nicht dreht.

Wir le-gen statt dessen fr den Drehimpuls des Systems aus zwei Massenpunkten fest: Im Schwerpunktsystem ist dieSumme der Impulse gleich Null. Wir zeigen, da eine analoge Gleichung auch fr drei Massenpunkte gilt.

Die Verallgemeinerungfr n Massenpunkte liegt dann auf der Hand. Auf Grund der Erfahrungstatsache, da Fik parallel zum Verbindungsvektor ri - rk ist, wird dierechte Seite gleich Null. Beispiele typischer DrehimpulswerteSystem Erde-Sonne 3. Die hier ausgefhrte Rechnung ist kein Beweis der Drehimpulserhaltung. Es ist auch nicht dieAbleitung der Drehimpulserhaltung aus der Impulserhaltung.

Die Drehimpulserhaltung wurdein die Rechnung zustzlich hineingesteckt in Form der folgenden Aussage: Dieser Satz ist also eine Art, die Drehimpulserhaltung zu formulieren. Die Formelist zwar verallgemeinerungsfhig, gilt aber keineswegs immer. Sie gilt nherungsweise fr eineechte Hantel, d. Die beiden Krper an den Enden der Hantel drfen aber selbst keinen Dre-himpuls haben. Massenpunkte haben per definitionem keinen Drehimpuls. Es gibt physikali-sche Systeme, die keine Ausdehnung, aber trotzdem Drehimpuls haben, z.

DenDrehimpuls der Elektronen kann man nicht nach der Formelberechnen. Diese Formel kann also nicht die Definitionsgleichung des Drehimpulses sein. Da der Drehimpuls des Schwungra-des zunimmt, mu durch die Antriebswelle Drehimpuls hindurchflieen. Es fliet ein aDrehim-pulsstrom von der Erde durch die Welle ins Schwungrad. Fr die Strke M dieses Stroms gilt: Man nennt M das Drehmoment. Man kann die Funktion einiger technischer Vorrichtungen so beschreiben: Leitung fr den DrehimpulsLager: Isolator fr den DrehimpulsKupplung: Schalter fr den DrehimpulsBremse: Schalter, durch den ein Drehimpulsstrom in die Erde geleitet werden kannFliet ein Drehimpulsstrom durch einen elastischen Stab, so wird der Stab verdrillt.

Der Verdril-lungswinkel ist ein Ma fr die Drehimpulsstromstrke. Da der Drehimpuls eine Erhaltungsgre ist, kann sich sein Wert innerhalb eines Raumbereichsnur dadurch ndern, da ein Drehimpulsstrom in den Bereich hinein- oder aus ihm herausfliet.

Wie schon beim Impuls, kann das Hinein- und Herausflieen auf zweierlei Art geschehen: Nur den ersten dieser beiden Stromtypen nennt manaDrehmoment M. Zwei Typen von Drehimpulsstrmen: Ein Drehimpulsstrom fliet aus der Erde ber dieWelle ins Schwungrad.

Wir wollen jetzt auch Krfte zulassen, dievon auen auf das System wirken, allerdings noch mit der EinschrnkungHier ist Fi die von auen auf den Massenpunkt i wirkende Kraft. Wenn diese Bedingung erflltist, ndert sich der Schwerpunktimpuls nicht. Wir bezeichnenden Ursprung des Ortskoordinatensystems mit O. Diese beiden Gren sind aber mit Vorsicht zu behandeln, denn ihre Werte hngen nicht nur vonder Wahl des Geschwindigkeits-, sondern auch von der des Ortskoordinatensystems ab.

Der genaue mathematische Zusammenhang zwischen und L kannrecht kompliziert sein. Er hngt von der rumlichen Verteilung der Masse des betrachteten Kr-pers ab, und er hngt davon ab, um welche Achse sich der Krper dreht. Wir beginnen die Unter-suchung des -L-Zusammenhangs mit einem sehr einfachen Spezialfall: Der Drehimpuls der Hantel ist: Drehimpuls- und Winkelgeschwindigkeitsvektoren sind parallel und ihre Betrge propor-tional zueinander.

Den Proportionalittsfaktor nennt man aTrgheitsmoment. Das Trgheitsmo-ment sagt uns, ob ein mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit rotierender Krper viel oderwenig Drehimpuls enthlt.

Wir knnen es als die Drehimpulskapazitt des Systems auffassen. Esist damit ein Ma fr die Trgheit eines Krpers bezglich Drehbewegungen. Ein groes Trg-heitsmoment bedeutet ja, da man dem Krper viel Drehimpuls zufhren mu, um seine Winkel-geschwindigkeit zu vergrern.

Je weitersie von der Achse entfernt ist, d. Wir untersuchen nun den -L-Zusammenhang fr den nchst komplizierteren Krper, einenKrper, der inversionssymmetrisch bezglich einer Achse ist. Er soll um diese Symmetrieachse66rotieren. Wir zerlegen den Krper in Gedankenin kleine Massenelemente.

Die Ausdehnung je-des dieser Massenelemente soll klein sein ge-gen die gesamte radiale Ausdehnung des Kr-pers. Jedes Massenelement kann wie ein Mas-senpunkt behandelt werden. Wegen der Inver-sionssymmetrie des Krpers lassen sich dieMassenelemente zu Paaren zusammenfassen,von denen jedes eine Hantel bildet, deren Achsemit der Rotationsachse des Krpers zusam-menfllt, Abb. Wenn sich der Krper mit der Winkelge-schwindigkeit um seine Achse dreht, so rotiert auch jede Hantel mit dieser Winkelgeschwin-digkeit.

Jede Hantel liefert nun einen Beitrag2ri2mizum Gesamtdrehimpuls. Die Hanteln sind mit dem Index i durchnumeriert. Der Gesamtdrehimpuls ist die Summe aller dieser Beitrge: Macht man die Zerlegung in Massenelemente immer feiner, so erhlt man als GrenzwertWir sehen: Auch hier sind L und proportional zueinander. Wir machen uns als nchstes klar, da man im Allgemeinen nicht mit einer einzigen Zahl aus-kommt, wenn man die Trgheit eines Krpers bezglich Rotationsbewegungen charakterisierenwill.

Wir betrachten einen Krper, der inversionssymmetrisch bezglich mehrerer Achsen ist,z. Wir knnen mit Gleichung Selbstverstndlich erhlt man im Allge-meinen fr jede Drehrichtung einen anderen Wert.

J ist nicht einfach eine einzige fr den Krper charakteristische Zahl. Das Trg-heitsmoment hat vielmehr fr verschiedene Drehrichtungen verschiedene Werte.

Es wird abernoch komplizierter. Wir lassen wieder eine Hantel rotieren, diesmal aber um eine Achse, die nicht mehr senkrecht aufder Verbindungsgeraden der Massenpunkte steht, sondern einen schiefen Winkel zu ihr bildet.

Der Krper lt sich in viele Hanteln zerlegen. Durch den Schwerpunkt soll sie aber nach wie vor gehen, Abb. Wieder suchen wir den -L-Zusammenhang.

L hat also nicht dieselbe Richtungwie. Trotzdem sagt man, da die Beziehung zwischen den Vektoren und L linear sei. Verndertman nmlich den Betrag der Winkelgeschwindigkeit um einen bestimmten Faktor, nicht aber ih-re Richtung, so ndert sich der Betrag des Drehimpulses um denselben Faktor, whrend sich dieRichtung von L nicht ndert.

Mathematisch beschreibt man eine solche "lineare Transformation eines Vektors" in einen ande-ren durch einen aTensor. Stellt man auch den -Vektor durch seine Komponenten dar, so kannman J und miteinander multiplizieren underhlt L in Komponentenschreibweise. Das bedeutet, da das Trg-heitsverhalten eines Krpers bezglich Rotati-onsbewegungen durch 6 Zahlen eindeutig be-stimmt ist. Der Krper kann eine beliebig kom-plizierte Verteilung der Massendichte haben -seine Rotationstrgheit ist stets durch 6 Zahlen-werte festgelegt.

Mit diesen Zahlen, d. Die Hantel rotiert um eine Achse, die nicht senk-recht auf der Verbindungslinie der Massenpunkte steht. Der Krper ist bezglich drei Achsen inversions-symmetrisch. Der Drehimpulsvektor ist nicht parallel zum Win-kelgeschwindigkeitsvektor. Trgheitstensors, verhlt es sich hnlich wie mit den Komponenten eines Vektors. Die Kompo-nenten ein und desselben Vektors haben, je nach Koordinatensystem unterschiedliche Werte.

Genauso haben auch die Komponenten eines Tensors, je nach Koordinatensystem, verschiedeneWerte. Es gibt nun eine spezielle Wahl des Koordinatensystems, in dem die Komponenten eine beson-ders anschauliche Bedeutung haben. Es ist das Koordinatensystem, in dem die den Tensor dar-stellende Matrix Diagonalform hat. Lt man den Krper um eine der Koordina-tenachsen rotieren, d. Dies gilt fr alle drei Koordinatenachsenrichtungen. Die diesen drei Richtungenentsprechenden Drehachsen heien aHaupttrgheitsachsen.

Die entsprechenden Werte des Trg-heitsmoments sind die aHaupttrgheitsmomente. Es wird nun auch plausibel, warum man 6 Zah-len braucht, um das Trgheitsverhalten eines Krpers zu charakterisieren: Rotiert ein Krper mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine andere als eine Haupttrg-heitsachse, so ndert sich sein Drehimpuls stndig. Die Komponenten des Drehimpulses, diesenkrecht zu liegen ndern sich sinusfrmig.

Der entsprechende Zu- und Abflu von Drehim-puls geschieht meist ber die Lager und ist leicht zu beobachten oder zu messen. Das Gesamtsystem A wird zerlegt in zwei rumlich getrennte Systeme a und b. Wir geben zunchst LA, La und Lb einzeln an: Eine etwas mhsame Rechnung ergibt ein sehr einfaches und einleuchtendes Ergebnis.

Wirhaben also A zerlegt in die adrei Teilsysteme a, b und a-b. Eine solche Zerlegung wird oft gemacht, wenn a und b starre Krper sind, aber auch beim Atom,wo etwa a ein Elektron und b der Atomkern ist. Hat eines der Systeme a und b eine viel grere Masse als das andere, ist also z.

Es hat sich daher leider eingebrgert,in diesem Fall La-b den aBahndrehimpuls von System a zu nennen. Damit ein Energiestrom fliet, ist es notwendig,da- sich die Welle dreht, also 0 ist;- ein Drehimpulsstrom fliet, also M 0 ist. Die Energiestromstrke P ist also eine Funktion von und von M. Wir suchen den Zusammen-hang E ,M. Durch die beiden Seile in Abb. Zur Definition der in der Rechnung verwendetenGrenAbb.

Das System A wird in Teilsysteme zerlegt. Die Kraft in beiden Seilen zusammen ist also Null. Die Energie begleitet den Drehim-puls nur auf einem Teil seines Weges: Energiespeicherung im SchwungradEin sich drehendes Schwungrad hat mehr Energie als ein ruhendes.

Um die Energienderung desSchwungrades zu berechnen, laden wir es mit Energie und mit Drehimpuls auf. Dabei flieen einEnergie- und ein Drehimpulsstrom in das Schwungrad hinein. Die Stromstrken hngen mitein-ander zusammen ber Gleichung Fr das Schwungrad gelten die Kontinuittsgleichun-gen von Energie und Drehimpuls: Energiebertragung durch eine Welle. Durch dieWelle flieen Energie und Drehimpuls. Durch jedes der beiden Seile fliet sowohl Ener-gie als auch Impuls.

Be-kannt sei- die Winkelgeschwindigkeit ;- das Trgheitsmoment J des Krpers. Da die Erde starr ist und schwer gegen den rotierenden Krper, knnen wir sie uns ersetzt denkendurch einen Krper b unendlich groer Masse am Ort der Drehachse, Abb. Wir zerlegennun das Gesamtsystem in Teilsysteme, so wie es in Tabelle Gesamtdrehim-puls L und gesamte kinetische Energie Ekin ergeben sich als Summen der entsprechenden Werteder Teilsysteme.

Die Erde wurde durch den unendlich schwerenKrper b am Ort der Drehachse ersetzt. Der Krper a rotiert um die Achse A. Sie geht weiter als es nach dieser Tabelle den An-schein hat.

Insbesondere existiert auch innerhalb der Rotationsmechanik ein Dualismus. Manhtte in die Tabelle noch eine zweite elektrische Spalte einfhren knnen, an deren Spitze daselektrische Dipolmoment stehen mte, das Analogon zum "Impulsmoment" L. Diese Spaltewre allerdings weniger interessant, denn das elektrische Dipolmoment ist, im Gegensatz zumDrehimpuls, keine Erhaltungsgre.

Wir wollen zwei Beispie-le der Analogie betrach-ten, die wir im nchstenAbschnitt brauchen, Abb. In denSystemen von Abb. L zwischen Sy-stem 1 und System 2 hinund her. Bei den Syste-men von Abb. Der Strom hrt auf zu flieen, wenn der Wert derintensiven Gre in beiden Systemen gleich geworden ist. Man kann ein System oft auf verschiedene Arten in Teilsyste-me zerlegen.

Manchmal fliet nun Drehimpuls aus einem Teilsystem in ein anderes im Fachjar-gon: Man kann dabei zwei Extremflle unter-scheiden. Der Drehimpulsstrom zwischen zwei Teilsystemen kann dissipativ sein. In diesem Fall fliet ersolange, bis die -Werte der beiden Teilsysteme gleich geworden sind. Es herrscht dann Gleich-gewicht bezglich des Drehimpulsstroms oder "Rotationsgleichgewicht".

Ein solcher Strom kommt zustande durch die Gezeiten. Der Strom zwischen Teilsystemen kann auch nicht-dissipativ sein. Dann fliet er zwischen denTeilsystemen stndig hin und her. Ein Beispiel herfr sind die Atome. Im Wasserstoffatom zumBeispiel fliet Drehimpuls stndig hin und her zwischen dem Teilsystem Elektron und dem Teil-system, das aus den Schwerpunkten von Elektron und Kern gebildet wird. Atome mit vielen Elektronen kann man auf viele Arten in Teilsysteme zerlegen.

Es ist zweckm-ig, das so zu tun, da starke Drehimpulsstrme nur innerhalb der Teilsysteme auftreten, nicht da-gegen zwischen einem Teilsystem und einem anderen. Der Drehimpuls jedes der so gewhltenTeilsysteme ist dann nahezu konstant. Die mengenartige Gre fliet von dem Teilsy-stem, in dem die intensive Variable den greren Wert hat indas Teilsystem, in dem sie den kleineren Wert hat. Die mengenartige Gre Q bzw. L fliet zwischen den Teilsystemen 1 und 2 hin und her.

DieMasse der Last und die Geometrie der Anord-nung sind gegeben. Gesucht sind die Krfte aufdie beiden Lager P und Q. Dasuntere Teilbild zeigt zwei der unendlich vielenMglichkeiten.

Das Problem lt sich aber l-sen, wenn man fr den Balken auer der Impulsbilanznoch die Drehimpulsbilanz macht: Man legt denn Nullpunkt der Ortsvektoren ri so, da die Rechnung mglichst einfach wird. Wirlegen ihn in den Punkt Q. Damit stehen die ri senkrecht auf den Kraftvektoren und die Vektor-produkte werden zu gewhnlichen Produkten der Vektorbetrge. Die Zerlegung von FG in zwei parallele Krfteist nicht eindeutig.

Wir legen an irgendeiner Stelle durch dasMateriestck eine senkrechte Schnittflche A. Das Materiestck links der Schnittflche bt nunauf das Materiestck rechts der Schnittflche eine Kraft aus, oder in anderen Worten; durch dieSchnittflche liet ein Impulsstrom. Oft ist es zweckmig, diesen Sachverhalt lokal zu beschreiben. Eine Stromstrke pro Fl-che heit immer Stromdichte. Die Gre beschreibt den lokalen Spannungszustand der Materie. Ist an einer Stelle grer als Null, so herrscht dort eine Druckspannung, wenn kleiner alsNull ist, eine Zugspannung.

Nun ist der Spannungszustand eines Materiestcks aber durch die Angabe einer einzigen Span-nung noch nicht eindeutig beschrieben. Es knnen nmlich unabhngig von der zuerst betrachte-ten Kraft in x-Richtung noch je eine Kraft in y- und in z-Richtung wirken, Abb.

Die Mate-rie kann also in drei aufeinander senkrechten Richtungen unter drei verschiedenen Spannungenstehen. Um den lokalen Spannungszustand vollstndig zu beschreiben, mu man daher angeben: Wir hatten anllich der Diskussion des Trgheitsmoments gelernt, da ein Gebilde, das man aufdiese Art beschreiben kann, ein Tensor ist.

Auch die mechanische Spannung ist also ein Tensor. Der Name des mathematischen Gebildes "Tensor" stammt brigens von dieser physikalischenRealisierung. Whrend der Trgheitstensor einem ganzen Krper zugeordnet ist, ist der Spannungstensor einelokale Gre, er gehrt zu einem einzigen Punkt.

Seine Komponenten knnen an jeder Stelle ei-nes Systems andere Werte haben. Der eingeklemmte Krper steht in x-Richtungunter Druckspannung. Der eingeklemmte Krper steht in x- und y-Richtung unter verschiedenen Druckspannungen. Es gibt eine Reihe verschiedenartiger Felder. Wir betrachtenhier nur das aelektromagnetische Feld und das aGravitationsfeld. Folgende Eigenschaften von Fel-dern sind uns bisher begegnet: Bisher war ein Feld fr uns etwas hnliches wie eine Feder in einem undurchsichtigen Kasten, ausdem nur zwei "Haken" herausgucken: Wir ha-ben die Existenz der Felder nur durch Bilanzieren festgestellt: Wie hngt die Strke des Impulsstroms von einem "Haken" zum anderen, also von einer Massezur anderen oder von einer Ladung zur anderen, von den Werten der Massen bzw.

Ladungen undvon ihren Abstnden ab? Wie ist die Energie im Feld verteilt? Die Luft ber der Erdoberflche hat an verschiedenen Stellen verschiedene Temperaturen T, ver-schiedene Drcke p, verschiedene Massen- und Entropiedichten m bzw. S und verschiedenechemische Zusammensetzungen.

Man kann jeder Stelle einen T-, p-, m-und S-Wert zuord-nen, sowie Konzentrationswerte der verschiedenen in der Luft enthaltenen Stoffe. Das Wort Feld wird hier in einer anderen Bedeutung benutzt als vorher. Um diebeiden Bedeutungen zu unterscheiden sprechen wir hier auch von amathematischen Feldern, imGegensatz zu den vorher diskutierten physikalischen Systemen, die wir aphysikalische Feldernennen wollen.

Wir werden sehen, da man ein physikalisches Feld oft durch mathematische Felder beschreibenkann. Nur wenn das physikalische Feld an allen Stellen im Raum identisch ist, braucht man zurBeschreibung keine mathematischen Felder.

Ein solches Feld nennt man ahomogen. Die Situationist dieselbe, wie wenn wir Luft in einem Behlter haben und T, p, etc. Dann gengt es, einen einzigen T-Wert, p-Wert etc. Wir bringen an eine Stelle r dieses Feldes einenMassenpunkt der Masse m0 und stellen fest, da das Feld auf den Massenpunkt eine Kraft ausbt,d.

Wir verdoppelnnun die Masse des Massenpunktes auf 2m0 und stellen fest, da sich auch die Kraft auf den Mas-senpunkt verdoppelt. Es ist so, als htten wir einfach zwei Massenpunkte nebeneinander gesetzt. Die Kraft des Feldes auf den ersten scheint die Kraft des Feldes auf den zweiten nicht zu stren. Fist also proportional zu m: Er charakterisiert das Feld, dasdie Massen m1, m2, mn an der Stelle erzeugen, an der sich der Massenpunkt m0 befindet. Wirnennen ihn die aStrke des Gravitationsfeldes der Massen m1, m2, mn.

Man beachte, da g r die Strke des Feldes in dem Zustand ist, in dem sich m0 noch nicht an der Stelle r befindet.

All dies gilt sinngem auch fr statische elektrische Felder: Verdoppelt man die Masse von m0 auf 2m0, so verdoppelt sich auch die Kraft auf diesen Massenpunkt. Man erhlt daraus die Feldstrke g1 des Feldes von m1 allein: Wenn wir m1 und das entsprechende Feld allein betrachten, knnen wir den Index 1 weglassen.

Wir erhalten somit die Feldstrkeverteilung des Feldes eines Massenpunktes der Masse m: Jedem Punkt des Feldes ist damit ein Vektor g r zugeordnet.

Die Feldstrkevektorpfeile weisen zum Massenpunkt m hin, Abb. Hier istdie elektrische Feldkonstante. Die Feldstrkepfeile weisen zum Massenpunkt mhin.

Falls die Ladung positiv ist, weisen die Feldstrkevektoren von der Ladung weg. Ist sie negativ,so weisen sie zur Ladung hin. Feldlinienbilder - die Divergenzfreiheit von Feldern Eine besonders praktische Art, Feldstrkeverteilungen darzustellen, ist das aFeldlinienbild.

Stattder Feldstrkepfeile zeichnet man durchgehende Linien, und zwar so, da die Feldstrkevek-torpfeile Tangenten an die Linien sind. Im Fall des Feldes eines Massenpunktes m0 sind die Feld-linien Geraden, die von m0 aus radial nach auen laufen, so wie es Abb. Bei dieser Ab-bildung wurde aber eine weitere Vereinbarung noch nicht bercksichtigt: Die Dichte der Linien,d. Wir wollen berechnen, wie dann die Linienzahl vom Abstand r vom Zentrum abhngt. Die Zahl der Linien ist also unabhngig von r.

Jede Kugelflche wird von derselben Zahl Liniendurchstoen. Das bedeutet, da die Feldlinien durchgehend sind: Sie laufen vom Massenpunktradial nach auen. Man ordnet nun jeder Feldlinie auch noch eine Richtung zu: Die Feldlinien kommenalso von auen und laufen radial auf den Massenpunkt zu, Abb. Diese Feststellung gilt viel allgemeiner als es nach unserer Herleitung den Anschein hat. Die Vektorpfeile wurden durch Linien ersetzt, andie sie Tangenten sind.

Feldlinien enden nur auf Massen. Sie suggerieren, da etwas strmt. Tatschlich sind sie aber akeine Strom-linien. Insbesondere stellen sie weder die Stromlinien des Impuls-, noch die des Energiestromsdar. Alles in diesem Abschnitt Gesagte gilt sinngem fr das elektrische Feld. Verdoppeln der Masse ist aber dasselbe, als htte man 2 Massenpunkte derMasse m0 an dieselbe Stelle gesetzt. Die Erfahrung lehrt, da diesauch viel allgemeiner gilt: Die Strke des Feldes in einem Punkt P von zwei Massenpunkten, diesich an beliebigen Stellen befinden, ist gleich der aVektorsumme der Strken der Felder, die jederMassenpunkt im Punkt P hervorrufen wrde, wenn er allein vorhanden wre, Abb.

Mankann daher die Gravitationsfeldstrke einerMassenverteilung konstruieren aus den Feld-strken, die zu den einzelnen Massen gehren. Das Analoge gilt fr die elektrische Feldstrke. Aus der Tatsache, da sich die Feld-strken additiv verhalten, folgt anicht, da sichalle anderen Gren des Feldes auch additivverhalten. Insbesondere verhalten sich diemengenartigen Gren der Felder nicht addi-tiv.

Wir wollen noch einmal die Beziehung Die Strke des Feldes, das 2m0 an irgendeinerStelle erzeugt, ist doppelt so gro wie die des Feldes von m0. Die Strke des Feldes von m1 und m2 ist gleichder Vektorsumme der Feldstrken der Felder von m1 undm2 allein. Wir wenden sie an auf den Krper O in Abbildung Es ist die Strke, die das Gravitationsfeld dorthtte, wenn der Krper O nicht vorhanden wre.

Diese ist wegen der Gegenwart von Krper O ganz anders. Ladung nur dazu benutzt, die Feld-strke zu messen, die ohne sie vorhanden wre. Man nimmt sie also nach der Messung wieder her-aus, soda nun die Feldstrke tatschlich den Wert hat, den man mit Hilfe der Probemasse bzw.

Nhert man sich hinreichend einem derMassenpunkte in Abb. Der relative Einflu des Massenpunktes m2auf die Feldstrke wird damit bei Annherungan m1 beliebig klein. Die Feldstrkeverteilungin der Nhe von m1 ist also dieselbe, als wrem1 allein vorhanden. Wir legen nun um m1 ei-ne sehr kleine Kugelflche.

Die Zahl der Feld-linien, die diese Kugelflche durchstoen, istvon m1 allein bestimmt. Legt man nun einegroe geschlossene Flche um m1, die aber m2nicht enthlt, so mssen in die groe Flche ge-nauso viele Feldlinien eintreten wie in die klei-ne, denn im Feld beginnen oder enden ja keineFeldlinien.

Die Zahl der Feldlinien, die in die82Abb. Die Zahl der Feldlinien, die in eine geschlosseneFlche eintreten, hngt nur von der Masse ab, die sich inner-halb der Flche befindet. Sieist proportional zu dieser Masse. Bei der Zhlung mu natrlich jede aus der Flche austretendeFeldlinie gegen eine eintretende aufgerechnet werden. Die Feldstrke in einem Plat-tenkondensator erhlt man durch Addition der Feldstrke einer positiv geladenen und einer gegendie erste versetzten negativ geladenen Platte, Abb.

Das resultierende Feld hat berall au-erhalb der Platten die Feldstrke Null. Zwischen ihnen ist es homogen. Bei zwei gleichartig geladenen Platten oder einer Anordnung aus zwei flachen parallelen Mas-senplatten ist der Raum zwischen den Platten feldfrei, hier ist die Feldstrke Null.

Auerhalb istdas Feld homogen, Abb. Sie ist dieselbewie die von zwei Massenpunkten gleicher Masse. Massenver-teilungAus Symmetriegrnden mssen die Feldlinien radial nach auen verlaufen, Abb.

Wir le-gen um das Zentrum in Gedanken eine Kugelschale, und zwar so, da sich auerhalb keine Quel-len Ladungen bzw. Die Feldliniendichte ist hier durch die Gesamtladung83Abb. Das Feld zwischen zwei gleichartig geladenenPlatten oder zwischen zwei Massenplatten c entsteht aus derberlagerung der Felder der Platten a und b. Die Feldstrke ist daher dieselbe, als wre dieganze Ladung bzw. Masse im Kugelmittelpunkt konzentriert.

Es gilt also Gleichung Innerhalb der Kugelschale knnten die Feldlinien aus Symmetriegrnden nur radial ver-laufen. Verliefen sie aber so, so mte sich im Mittelpunkt eine Quelle befinden, was aber nichtder Fall ist. Feldlinien einer kugelsymmetrischen Quellen-verteilungAbb. Feldlinien einer kugelschalenfrmigen Quellen-verteilungist die Ladung pro FlcheNun ist die Feldstrke direkt auerhalb der KugelflcheEs ist daherDies ist eine lokale Aussage ber einen Punkt der Oberflche der geladenen Kugel.

Sie gilt im-mer, wenn die Feldlinien von einer geladenen Flche aus senkrecht in nur einer Richtung weglau-fen. Wir zerlegen da-her Platte 2 in sehr viele kleine, gleich groe Segmente, von denen jedes die Ladung Q2i trgt. Es ist alsoNach Abschnitt Wirerhalten alsoDies ist aber nicht nur die Kraft, die Platte 1 auf Platte 2 ausbt. Es ist auch die Kraft, die Platte 1auf das Feld unmittelbar vor Platte 1 ausbt, und es ist die Kraft, die das Feld unmittelbar vor Plat-te 2 auf Platte 2 ausbt, und es ist auch die Kraft, die die linke Hlfte des Feldes auf die rechte aus-bt.

Es ist natrlich egal, ob man den Strom am Ort von Platte 1 oder von Platte 2oder irgendwo dazwischen betrachtet: Er hat berall dieselbe Stromstrke, Abb. Die Tatsache, da durch das Feld ein Impulsstrom fliet bzw. Da ein Teil des Feldes am anderen azieht, handelt es sich um eine Zugspannung. Diemechanische Spannung x in x-Richtung erhlt man, indem man die Kraft durch die Flche divi-diert: Im Kondensator herrscht also in Feldlinienrichtung eine Zugspannung, egal ob die linke Plattepositiv und die rechte negativ ist oder umgekehrt.

Einem kleinen Ausschnitt eines elektrischenFeldes sieht man nicht an, durch welche Anordnung das Feld erzeugt wird. Es gilt daher allge-mein: Wir betrachten nun das elektrische Feld von zwei gleichartig geladenen Platten, sowie das Gravi-tationsfeld von zwei parallelen Massenplatten, Abb. Den Feldlinienverlaufhatten wir schon in Abschnitt Der Raum zwischen den Platten ist feldfrei. Hierfliet also kein Impulsstrom. In der Abbildung wird der Impuls zwischen den Platten durch Fe-dern geleitet.

Im Gravitationsfeld stehen die Federn unter Druckspannung. Also mu auch imFeld eine Druckspannung herrschen: Den Wert der mechanischen Spannung x im Gravitationsfeld berechnen wir wie den von x imelektrischen Feld. Der Impulsstrom fliet durch das Feld von einerPlatte zur anderen. Das Feld steht in x-Richtung unter Zug-spannung. Ebenso werden zwei Massen, etwa Erde und Mond vom Feld nicht zueinander hingezo-gen, sondern von auen zueinander hingedrckt. Sowohl im elektrischen als auch im Gravitationsfeld herrscht auch quer zu den Feldlinien einemechanische Spannung: Da etwa im elektrischen Feldeines Plattenkondensators quer zu den Feldli-nien eine Druckspannung herrscht, macht mansich leicht plausibel.

Die Platten des Konden-sators von Abb. Es fliet also innerhalb derPlatten ein y-Impulsstrom von oben nach un-ten. Dieser kann nur durch das Feld wieder zu-rckflieen. Im Feld fliet er also von untennach oben. Das bedeutet, da im Feld eineDruckspannung herrscht. Die Zug- und Druck-spannungen in elektromagnetischen Feldernwurden um von Faraday entdeckt. Die Kondensatorplatten stehen unter Zugspan-nung. Daher mu das Feld zwischen ihnen in senkrechterRichtung unter Druckspannung stehen.

Wir geben ohne Beweis die mechanischen Spannungen quer zu den Feldlinien an. Wenn derFeldstrkevektor in x-Richtung liegt, so ist: Zur Berechnung der Energiedichte des Gravitationsfeldes betrachten wir zwei parallele Massen-platten. Die Rechnung ist analog zu der voran-gehenden: Bewegt man die rechte Platte nach rechts, sofliet Energie in das Feld zwischen den Platten.

Dieser Energiebetrag ist aber nicht von der Er-zeugung von Feld begleitet, sondern von derVernichtung des Feldes zwischen den Platten. Wir knnen diesem Tatbestand dadurch Rech-nung tragen, da wir sagen, die Energiedichteim Feld sei negativ: Man kann sich auch vorstellen, da man Ener-gie braucht, um gravitationsfeldfreien Raum "aufzuspannen".

DieselbeGleichung gilt fr kugelsymmetrische Massenverteilungen, allerdings nur auerhalb des Gebie-tes, in dem sich die Massenverteilung befindet. Wir betrachten das Feld einer kugelsymmetrischen Massenverteilung der Gesamtmasse m0. Wirbringen einen kleinen Krper der Masse m an die Stelle r0. Wir verschieben nun den Krper der Massem an eine andere Stelle r, Abb. Ist diese Stelle von O weiter entfernt als r0, so mu fr dieVerschiebung Energie aufgebracht werden.

Man steckt diese Energie in das den beiden Massenm0 und m gemeinsame Gravitationsfeld. Wir berechnen den aufzubringenden Energiebetrag: Je grer der Abstand r ist, auf den man m bringt, desto mehr Energie wird gebraucht.

Wir dividieren nun diese Energie durch die Masse m des Krpers, den wir verschieben. DieseEnergie pro Masseist unabhngig von m. Sie hngt nur von der Massenverteilung m0 ab. Es handelt sich daher umeine Funktion von r, mit der das Feld von m0 allein beschrieben wird. Wir nennen die Gredas aGravitationspotential. Das Gravitationspotential ist eine Gre, die einem Punkt in einem physikalischen Feld zuge-ordnet ist.

Sie ist damit eine mathematisches Feld. Fr die Verschiebung des kleinen Krpers vonro nach r mu Energie aufgebracht werden. Diese Gleichung legt das Gravitationspotential nur bis auf eine willkrliche additive Konstantefest. Das bedeutet, da der Nullpunkt von V frei whlbar ist. Die eine kann aus der anderen be-rechnet werden. Wir haben den Zusammenhang zwischen beiden am Beispiel des Feldes der ku-gelsymmetrischen Massenverteilung gezeigt. Fr verschiedene WerteVi ergeben sich verschiedene aquipotentialflchen.

Die quipotentialflchen des Feldes einerkugelsymmetrischen Massenverteilung sind Kugelflchen, Abb. Die quipotentialflchen eines Feldes liegen immer senkrecht zu den Feldlinien. Die graphischeDarstellung der quipotentialflchen ist dahergenauso suggestiv wie die der Feldlinien. Das Feldkann keinen Impuls aufnehmen.

Sein Impuls ndert sich also nicht. Bei der Bewegung flieen auerdem Energiestrme. Ein wichtiger Sonderfall ist der, bei dem einer der beiden Krper sehr schwer gegen den anderenist: BeispieleSystem Sonne - Erde: Auerdem ist die Bewegung, d.

Wir betrachten die Energie der Krper im Schwerpunktsystem. Damit wirddE1 und dE2 haben dasselbe Vorzeichen: Wenn E1 zunimmt, so nimmt auch E2 zu. Die Ener-giebetrge dE1 und dE2 kommen beide aus dem Feld. Die Energie fliet also praktisch nur zwischen demFeld und dem leichten Krper 2 hin und her.

Im Schwerpunktsystem sind also Ge-schwindigkeit und kinetische Energie des schweren Krpers praktisch gleich Null. Da sich Krper 1 nicht bewegt, ist der Beitrag von Krper 1 zum Feld zeitlich konstant.

Mit "Feld" ist hier die Feldstrkeverteilung g r gemeint. Auch das ist von Kepler ent-deckt worden genauer: Dies ist das erste Ke-plersche Gesetz. Sie liegen ungefhr in einer einzigenEbene, der Umlaufsinn aller Planeten ist derselbe. Fr einen Planeten, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit auf einer Kreis-bahn mit dem Radius r bewegt, ist siehe Abschnitt 4. Sie wurde ebenfalls von Kepler entdeckt und heit das dritte Keplersche Gesetz.

Er nhertsich der Sonne und nimmt aus dem Gravitationsfeld den Energiebetrag E auf. Seine kinetischeEnergie betrgt also am Ende seiner Fallbewegung E. Sie ist aber stets halb sogro wie die kinetische Energie, die er htte, wenn er aus dem Unendlichen frei auf diesen Radiusheruntergefallen wre.

Die Person sprt also die Impuls-strme, die durch ihren Krper flieen, Abb. Durch die Grenzflchezwischen oberem und unterem Klotz fliet derImpuls, der aus dem Gravitationsfeld in denoberen Klotz eingetreten ist. Durch die Grenz-flche zwischen unterem Klotz und Erde flietauerdem noch der Impuls, der aus dem Feld inden unteren Klotz gelangt ist.

Um das Schweregefhl loszuwerden, mu man dafr sorgen, da die Impulsstrme innerhalb desKrpers verschwinden. Hierfr gibt es zwei Methoden. Die eine besteht darin, da man keinen Impuls aus dem Gravitationsfeld zuflieen lt. Um daszu erreichen, mu man sich an einen Ort begeben, an dem sich kein Gravitationsfeld irgendeinesPlaneten oder Sterns befindet.

Die andere Methode ist viel leichter zu verwirklichen: Der aus dem Gravitationsfeld kommende Impulskann nicht mehr abflieen.

Die Person fhlt sich schwer, weil Impulsstrmedurch sie hindurchflieen. Da-zu gengt es, die Verbindung zur Erde zu unterbrechen. Man lt sich frei fal-len. In jeden der beiden Kltze, und an je-de Stelle jedes Klotzes tritt Impuls aus dem Gravitationsfeld ein.

Dieser fliet aber innerhalb derMaterie der Kltze nicht mehr herum. Er fliet insbesondere auch nicht vom oberen in den unte-ren Klotz. Der untere sprt daher nicht mehr das Gewicht des oberen. Whrend die auf der Erde stehenden Kltze unter Druckspannung stehen, sind die frei fallendenKltze spannungsfrei. Die allgemeine Relativittstheorie zeigt brigens, da zwischen den beiden Realisierungen derSchwerelosigkeit prinzipiell kein Unterschied besteht.

KrperA befindet sich an einem Ort hherer Gravitati-onsfeldstrke als B. In A fliet daher aus demGravitationsfeld ein strkerer Impulsstromhinein als in B. Wir nennen die entsprechende Stromstrke FG. MitwirdHieraus kann man die Strke des Impulsstroms in der Stange berechnen: Dann steht die ganzeEnergie fr die Reaktion zur Verfgung. Man realisiert das, indem man zunchst die Teilchen A mit Energie und Impuls ldt und sie in ei-nem aSpeicherring "parkt".

Tatschlich ist es mehr, da das zurckgeworfene LichtImpuls des umgekehrten Vorzeichens besitzt wie das ankommende. Bezugssysteme - relativistische Kinematik Man gibt daher den Ort eines Krpers nicht an in Bezug auf einen anderen aKrper, sondern in Be-zug auf ein Ortskoordinatensystem.

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Tatschlich fliet dieser Strom nicht durch den leeren Raum, sondern durch ein physikalischesGebilde:

Closed On:

Ausländische Anleihen sind typischerweise in der Währung des Landes des Verkaufs.

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